Operasi AL-JABAR SMP

Rumus ALJABAR - MATEMATIKA kelas VII

 A. BENTUK ALJABAR dan UNSUR-UNSURNYA

Bentuk ALJABAR adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya memuat huruf-huruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui. Bentuk aljabar dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Hal-hal yang tidak diketahui seperti banyaknya bahan bakar minyak yang dibutuhkan sebuah bis dalam tiap minggu, jarak yang ditempuh dalam waktu tertentu, atau banyaknya makanan ternak yang dibutuhkan dalam 3 hari, dapat dicari dengan menggunakan aljabar.

A. UNSUR - UNSUR ALJABAR 

 1. Variabel, Konstanta, dan Faktor

Perhatikan bentuk aljabar 5x + 3y + 8x – 6y + 9. Pada bentuk aljabar tersebut, huruf x dan y disebut variabel. Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas. Variabel disebut juga peubah. Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c, ..., z.

Adapun bilangan 9 pada bentuk aljabar di atas disebut konstanta. Konstanta adalah suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variabel. Jika suatu bilangan a dapat diubah menjadi a = p X q dengan a, p, q bilangan bulat, maka p dan q disebut faktor-faktor dari a.

Pada bentuk aljabar di atas, 5x dapat diuraikan sebagai 5x = 5 X x atau 5x = 1 X 5x. Jadi, faktor-faktor dari 5x adalah 1, 5, x, dan 5x. Adapun yang dimaksud koefisien adalah faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar. Perhatikan koefisien masing-masing suku pada bentuk aljabar 5x + 3y + 8x – 6y + 9. Koefisien pada suku 5x adalah 5, pada suku 3y adalah 3, pada suku 8x adalah 8, dan pada suku –6y adalah –6.

2. Suku Sejenis dan Suku Tak Sejenis

a) Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih.

Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang sama. Contoh: 5x dan –2x, 3a2 dan a2, y dan 4y, ...

Suku tak sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang tidak sama. Contoh: 2x dan –3x2, –y dan –x3, 5x dan –2y, ...

b) Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi jumlah atau selisih. Contoh: 3x, 2a2, –4xy, ...

c) Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau selisih. Contoh: 2x + 3, a2 – 4, 3x2 – 4x, ...

d) Suku tiga adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi jumlah atau selisih. Contoh: 2x2 – x + 1, 3x + y – xy, ...

Bentuk aljabar yang mempunyai lebih dari dua suku disebut suku banyak.

B. OPERASI HITUNG PADA ALJABAR

1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar

Pada bentuk aljabar, operasi penjumlahan dan pengurangan hanya dapat dilakukan pada suku-suku yang sejenis. Jumlahkan atau kurangkan koefisien pada suku-suku yang sejenis.

2. Perkalian

Perlu kalian ingat kembali bahwa pada perkalian bilangan bulat berlaku sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitu a X (b + c) = (a X b) + (a X c) dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, yaitu a X (b – c) = (a X b) – (a X c), untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c. Sifat ini juga berlaku pada perkalian bentuk aljabar.

3. Perpangkatan

Coba kalian ingat kembali operasi perpangkatan pada bilangan bulat. Operasi perpangkatan diartikan sebagai perkalian berulang dengan bilangan yang sama. Hal ini juga berlaku pada perpangkatan bentuk aljabar. Pada perpangkatan bentuk aljabar suku dua, koefisien tiap suku ditentukan menurut segitiga Pascal. Misalkan kita akan menentukan pola koefisien pada penjabaran bentuk aljabar suku dua (a + b)n, dengan n bilangan asli.

Perhatikan uraian berikut:

Pada segitiga Pascal tersebut, bilangan yang berada di bawahnya diperoleh dari penjumlahan bilangan yang berdekatan yang berada di atasnya.

4. Pembagian

Hasil bagi dua bentuk aljabar dapat kalian peroleh dengan menentukan terlebih dahulu faktor sekutu masing-masing bentuk aljabar tersebut, kemudian melakukan pembagian pada pembilang dan penyebutnya.

5. Substitusi pada Bentuk Aljabar

Nilai suatu bentuk aljabar dapat ditentukan dengan cara menyubstitusikan sebarang bilangan pada variabel-variabel bentuk aljabar tersebut.

6. Menentukan KPK dan FPB Bentuk Aljabar

Coba kalian ingat kembali cara menentukan KPK dan FPB dari dua atau lebih bilangan bulat. Hal itu juga berlaku pada bentuk aljabar. Untuk menentukan KPK dan FPB dari bentuk aljabar dapat dilakukan dengan menyatakan bentuk-bentuk aljabar tersebut menjadi perkalian faktor-faktor primanya. Perhatikan contoh berikut:

C. PECAHAN BENTUK ALJABAR

1. Menyederhanakan Pecahan Bentuk Aljabar

Suatu pecahan bentuk aljabar dikatakan paling sederhana apabila pembilang dan penyebutnya tidak mempunyai faktor persekutuan kecuali 1, dan penyebutnya tidak sama dengan nol. Untuk menyederhanakan pecahan bentuk aljabar dapat dilakukan dengan cara membagi pembilang dan penyebut pecahan tersebut dengan FPB dari keduanya.

2. Operasi Hitung Pecahan Aljabar dengan Penyebut Suku Tunggal

a. Penjumlahan dan pengurangan

Pada bab sebelumnya, kalian telah mengetahui bahwa hasil operasi penjumlahan dan pengurangan pada pecahan diperoleh dengan cara menyamakan penyebutnya, kemudian menjumlahkan atau mengurangkan pembilangnya. Kalian pasti juga masih ingat bahwa untuk menyamakan penyebut kedua pecahan, tentukan KPK dari penyebut-penyebutnya. Dengan cara yang sama, hal itu juga berlaku pada operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk pecahan aljabar. Perhatikan contoh berikut:

b. Perkalian dan pembagian
Perkalian pecahan aljabar tidak jauh berbeda dengan perkalian bilangan pecahan. Perhatikan contoh berikut:

c. Perpangkatan pecahan bentuk aljabar

Operasi perpangkatan merupakan perkalian berulang dengan bilangan yang sama. Hal ini juga berlaku pada perpangkatan pecahan bentuk aljabar. Perhatikan contoh berikut:

 

Trigonometri SMA Kelas XI

Kumpulan Rumus Trigonometri Kelas XI SMA

Trigonometri

Jumlah & selisih sudut:

Sudut rangkap:

Jumlah atau selisih à perkalian:

Perkalian  jumlah atau selisih:

TRIGONOMETRI

A. Pengertian Trigonometri

Trigonometri terdiri dari sinus (sin), cosinus (cos), tangens ( tan), cotangens (cot), secan (sec) dan cosecan (cosec). Trigonometri merupakan nilai perbandingan yang didefinisikan pada koordinat kartesius atau segitiga siku-siku.
Jika trigonometri didefinisikan dalam segitiga siku-siku, maka definisinya adalah sebagai berikut:


B. Nilai Trigonometri untuk Sudut-sudut Istimewa


C. Rumus-rumus Identitas Trigonometri


D. Rumus- Rumus Trigonometri


E. Aturan Trigonometri dalam Segitiga

0 komentar

TRIGONOMETRI DAN SEJARAHNYA

Pengertian dan Sejarah Trigonometri


Pengertian Trigonometri

Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segi tiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen. Trigonometri memiliki hubungan dengan geometri, meskipun ada ketidaksetujuan tentang apa hubungannya; bagi beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari geometri.

Sejarah Trigonometri

Awal trigonometri dapat dilacak hingga zaman Mesir Kuno dan Babilonia dan peradaban Lembah Indus, lebih dari 3000 tahun yang lalu. Matematikawan India adalah perintis penghitungan variabel aljabar yang digunakan untuk menghitung astronomi dan juga trigonometri. Lagadha adalah matematikawan yang dikenal sampai sekarang yang menggunakan geometri dan trigonometri untuk penghitungan astronomi dalam bukunya Vedanga, Jyotisha, yang sebagian besar hasil kerjanya hancur oleh penjajah India.

Matematikawan Yunani Hipparchus sekitar 150 SM menyusun tabel trigonometri untuk menyelesaikan segi tiga.

Matematikawan Yunani lainnya, Ptolemy sekitar tahun 100 mengembangkan penghitungan trigonometri lebih lanjut.

Matematikawan Silesia Bartholemaeus Pitiskus menerbitkan sebuah karya yang berpengaruh tentang trigonometri pada 1595 dan memperkenalkan kata ini ke dalam bahasa Inggris dan Perancis.

RUMUS- RUMUS TRIGONOMETRI


PENJUMLAHAN DUA SUDUT (a + b)

sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b
tg(a + b ) = tg a + tg b
1 - tg2a

SELISIH DUA SUDUT (a - b)

sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b
cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b
tg(a - b ) = tg a - tg b
1 + tg2a

SUDUT RANGKAP

sin 2a = 2 sin a cos a
cos 2a = cos2a - sin2 a
= 2 cos2a - 1
= 1 - 2 sin2a
tg 2a = 2 tg 2a
1 - tg2a
sin a cos a = ½ sin 2a
cos2a = ½(1 + cos 2a)
sin2a = ½ (1 - cos 2a)

Secara umum :

sin na = 2 sin ½na cos ½na
cos na = cos2 ½na - 1
= 2 cos2 ½na - 1
= 1 - 2 sin2 ½na
tg na = 2 tg ½na
1 - tg2 ½na

JUMLAH SELISIH DUA FUNGSI YANG SENAMA


BENTUK PENJUMLAHAN ® PERKALIAN

sin a + sin b = 2 sin a + b cos a - b
2 2
sin a - sin b = 2 cos a + b sin a - b
2 2
cos a + cos b = 2 cos a + b cos a - b
2 2
cos a + cos b = - 2 sin a + b sin a - b
2 2

BENTUK PERKALIAN ® PENJUMLAHAN

2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b)
2 cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b)
2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b)
- 2 sin a cos b = cos (a + b) - sin (a - b)

PENJUMLAHAN FUNGSI YANG BERBEDA

Bentuk a cos x + b sin x

Merubah bentuk a cos x + b sin x ke dalam bentuk K cos (x - a)


a cos x + b sin x = K cos (x-a). 

 

 contoh soal TRIGONOMETRI

Soal No. 1
Nyatakan sudut-sudut berikut dalam satuan derajad:
a) ¹/₂ π rad
b) ³/₄ π rad
c) ⁵/₆ π rad
Pembahasan
Konversi:
1 π radian = 180°

Jadi:
a) ¹/₂ π rad


b) ³/₄ π rad


c) ⁵/₆ π rad


Soal No. 2
Nyatakan sudut-sudut berikut dalam satuan radian (rad):
a) 270°
b) 330°

Pembahasan
Konversi:
1 π radian = 180°

Jadi:
a) 270°


b) 330°


Soal No. 3
Diberikan sebuah segitiga siku-siku seperti gambar berikut ini.

Tentukan:
a) panjang AC
b) sin θ
c) cos θ
d) tan θ
e) cosec θ
f) sec θ
d) cotan θ
Pembahasan
a) panjang AC
Dengan phytagoras diperoleh panjang AC



b) sin θ



c) cos θ



d) tan θ



e) cosec θ



f) sec θ



g) cotan θ



Soal No. 4
Sebuah segitiga siku-siku.



Diketahui nilai dari sin β = ²/₃. Tentukan nilai dari :
a) cos β
b) tan β

Pembahasan
sin β = ²/₃ artinya perbandingan panjang sisi depan dengan sisi miringnya adalah 2 : 3





Gunakan phytagoras untuk menghitung panjang sisi yang ketiga (sisi samping):



Sehingga nilai cos β dan tan β berturut-turut adalah



Soal No. 5
Seorang anak berdiri 20 meter dari sebuah menara seperti gambar berikut.



Perkirakan ketinggian menara dihitung dari titik A! Gunakan √2 = 1,4 dan √3 = 1,7 jika diperlukan.

Pembahasan
tan 60 ° adalah √3, asumsinya sudah dihafal. Sehingga dari pengertian tan sudut



Tinggi menara sekitar 34 meter.

Soal No. 6
Sebuah marka kejut dipasang melintang pada sebuah jalan dengan sudut 30° seperti ditunjukkan gambar berikut.



Jika panjang marka kejut adalah 8 meter, tentukan lebar jalan tersebut!

Pembahasan
Segitiga dengan sudut istimewa 30° dan sisi miring 8 m.



sin 30° = ¹/₂
sin 30° = BC/AC
BC/AC = ¹/₂
BC = ¹/₂ × AC = ¹/₂ × 8 = 4 meter

Lebar jalan = BC = 4 meter

Soal No. 7
Diberikan sebuah segitiga sama sisi ABC seperti gambar berikut. Panjang TC adalah 12 cm.



Tentukan panjang sisi segitiga tersebut!

Pembahasan
Δ ABC sama sisi, sehingga sudut A = sudut B = sudut C = 60° Jika diambil titik ATC menjadi segitiga, maka didapat gambar berikut.



Sinus 60° pada segitiga ATC adalah perbandingan sisi TC (sisi depan) dengan sisi AC (sisi miring) sehingga



Soal No. 8
Diketahui segitiga ABC dengan panjang AC = AB = 6 cm. Sudut C sebesar 120°.



Tentukan luas segitiga ABC!

Pembahasan
Segitiga ABC adalah sama kaki. Jika diambil garis tinggi TC maka didapat gambar berikut.



Menentukan panjang AT dan CT dengan sudut yang diketahui yaitu 60°



Sehingga luas segitiga adalah



Soal No. 9
cos 315° adalah....
A. − ¹/₂ √3
B. − ¹/₂ √2
C. − ¹/₂
D. ¹/₂ √2
E. ¹/₂ √3
(Soal Ebtanas 1988)

Pembahasan
Sudut 315° berada di kuadran IV. Nilai-nilai cosinus sudut di kuadran IV memenuhi rumus berikut:
cos (360° − θ) = cos θ

Sehingga
cos 315° = (360° − 45°) = cos 45° = ¹/₂ √2

Read more: http://matematikastudycenter.com/kelas-10-sma/99-dasar-trigonometri-10-sma#ixzz3L51vuTPS
 

Geometri Kelas X

Geometri Matematika Wajib Kelas X 

Definisi – definisi  dan teorema yang diperlukan dalam materi ini adalah sebagai berikut.

Definisi 1:

jarak titik A dan titik B adalah panjang ruas garis terpendek yang menghubungkan kedua titik tersebut.

Definisi 2 :

Misalkan terdapat titik A dan garis g₂ sebarang, dengan titik A diluar garis g₂. Proyeksi titik A pada garis g₂, sebut titik B adalah suatu titik pada garis g₂ sedemikian sehingga AB tegak lurus g₂.

Definisi 3:

Titik A dikatakan tegak lurus bidang β, jika titik A tegak lurus semua garis pada bidang β.

Teorema 1:

Titik A dikatakan tegak lurus bidang β, jika titik A tegak lurus dua garis berpotongan pada bidang β.

Definisi 4:

Misalkan terdapat titik A dan bidang β, dengan titik A diluar bidang β. Proyeksi titik A pada bidang β, sebut titik B adalah suatu titik pada bidang β sedemikian sehingga AB tegak lurusβ.

Berdasarkan hal ini maka hal yang dibahas pada materi ini khususnya jarak, adalah:

1.      jarak dua titik;

2.      jarak titik terhadap garis;

3.      jarak titik terhadap bidang;

4.   jarak dua garis (jarak dua garis sejajar dan jarak dua garis bersilangan); dan

5.      jarak garis terhadap bidang; dan

6.      jarak dua bidang.

Keenam materi tersebut (kecuali jarak dua garis bersilangan) dapat dirangkum dalam gambar di bawah ini.

dengan:

1.AB merupakan ruas garis terpendek yang menghubungkan titik A dan titik B;

2. titik B merupakan proyeksi titik A pada garis g2 (atau garis k2);

3. titik B merupakan proyeksi titik A pada bidang β;

4. titik A merupakan proyeksi titik B pada garis g1 (atau garis k1); dan

5. titik A merupakan proyeksi titik B pada bidang α.

Panjang ruas garis AB mewakili:

1.      jarak titik A dan titik B;

2.      jarak titik A terhadap garis g₂; jarak titik A terhadap garis k₂;

3.      jarak titik B terhadap garis g₁; jarak titik B terhadap garis k₁;

4.      jarak titik A terhadap bidang β;

5.      jarak titik B terhadap bidang α;

6.      jarak garis g₁ dan g₂; jarak garis k₁ dan k₂;

7.      jarak garis g₁ terhadap bidang β; jarak garis k₁ terhadap bidang β;

8.      jarak garis g₂ terhadap bidang α; dan jarak garis k₂ terhadap bidang α.

 

10 Soal dan Pembahasan Permasalahan Barisan dan Deret Geometri

 

Barisan maupun deret geometri sering digunakan untuk menyelesaikan permasalahan yang sering kita jumpai di sekitar kita. Beberapa permasalahan yang sering menggunakan konsep barisan dan deret geometri adalah permasalahan pada ayunan bandul, depresiasi, penuaan peralatan, laju pertumbuhan populasi, dan lain sebagainya.
Soal 1: Menyelesaikan Penerapan Barisan Geometri: Bandul
Bandul adalah sembarang obyek yang digantungkan pada suatu titik tertentu dan dibiarkan untuk mengayun dengan bebas di bawah pengaruh dari gaya gravitasi. Misalkan ayunan suatu bandul masing-masing panjangnya 0,8 dari ayunan sebelumnya. Lama kelamaan, ayunan bandul tersebut akan semakin pendek dan akan berhenti (walaupun secara teoritis tidak akan pernah berhenti)

 

1. Seberapa panjangkah ayunan ke-6 dari bandul tersebut, apabila panjang ayunan pertamanya adalah 125 cm?
2. Berapakah panjang lintasan total yang telah dilalui oleh bandul tersebut sampai ayunan yang ke-6?
3. Butuh sampai berapa ayunankah agar panjang dari masing-masing ayunan bandul tersebut kurang dari 14 cm?
4. Berapakah panjang lintasan total yang telah dilalui bandul tersebut sampai bandul tersebut berhenti berayun?

Pembahasan Karena panjang masing-masing ayunan sama dengan 0,8 panjang ayunan sebelumnya, maka kita dapat menyimpulkan bahwa panjang ayunan bandul tersebut membentuk barisan geometri.

1. Karena panjang ayunan pertamanya adalah 125 cm, maka kita peroleh a₁ = 125 dan rasionya r = 0,8. Sehingga beberapa suku pertama dari barisan tersebut adalah 125, 100, 80, dan seterusnya. Untuk suku ke-6, kita dapat menentukannya dengan menggunakan rumus:
   
   Jadi, bandul tersebut mengayun sejauh 40,96 cm pada ayunannya yang ke-6.
2. Untuk menentukan panjang lintasan total sampai ayunan ke-6, kita hitung S₆.
   
   Sehingga, bandul tersebut telah menempuh 461,16 cm sampai ayunan ke-16.
3. Untuk menentukan banyaknya ayunan ketika masing-masing ayunan panjangnya kurang dari 14 cm, kita selesaikan n pada persamaan 14 = 125(0,8)^{n – 1}.
   
   Jadi, setelah ayunan ke 10 (atau mulai ayunan ke-11), panjang dari lintasan bandul akan kurang dari 14 cm.
4. Panjang lintasan total sebelum bandul berhenti berayun sama dengan jumlah deret geometri tak hingga dengan a₁ = 125 dan r = 0,8.
   
   Sehingga, panjang lintasan yang telah ditempuh oleh bandul sebelum berhenti berayun adalah 625 cm.

1. Seberapa panjangkah ayunan ke-6 dari bandul tersebut, apabila panjang ayunan pertamanya adalah 125 cm?
2. Berapakah panjang lintasan total yang telah dilalui oleh bandul tersebut sampai ayunan yang ke-6?
3. Butuh sampai berapa ayunankah agar panjang dari masing-masing ayunan bandul tersebut kurang dari 14 cm?
4. Berapakah panjang lintasan total yang telah dilalui bandul tersebut sampai bandul tersebut berhenti berayun?

Pembahasan Karena panjang masing-masing ayunan sama dengan 0,8 panjang ayunan sebelumnya, maka kita dapat menyimpulkan bahwa panjang ayunan bandul tersebut membentuk barisan geometri.

1. Karena panjang ayunan pertamanya adalah 125 cm, maka kita peroleh a₁ = 125 dan rasionya r = 0,8. Sehingga beberapa suku pertama dari barisan tersebut adalah 125, 100, 80, dan seterusnya. Untuk suku ke-6, kita dapat menentukannya dengan menggunakan rumus:
   
   Jadi, bandul tersebut mengayun sejauh 40,96 cm pada ayunannya yang ke-6.
2. Untuk menentukan panjang lintasan total sampai ayunan ke-6, kita hitung S₆.
   
   Sehingga, bandul tersebut telah menempuh 461,16 cm sampai ayunan ke-16.
3. Untuk menentukan banyaknya ayunan ketika masing-masing ayunan panjangnya kurang dari 14 cm, kita selesaikan n pada persamaan 14 = 125(0,8)^{n – 1}.
   
   Jadi, setelah ayunan ke 10 (atau mulai ayunan ke-11), panjang dari lintasan bandul akan kurang dari 14 cm.
4. Panjang lintasan total sebelum bandul berhenti berayun sama dengan jumlah deret geometri tak hingga dengan a₁ = 125 dan r = 0,8.
   
   Sehingga, panjang lintasan yang telah ditempuh oleh bandul sebelum berhenti berayun adalah 625 cm.

1. Soal 2: Bermain Ayunan
   Rhisky sedang bermain ayunan di halaman belakang rumahnya. Dia mengayunkan ayunan tersebut dengan menggunakan tangan dan tubuhnya agar ayunan tersebut berayun sampai ketinggian maksimum, kemudian membiarkannya sampai ayunan yang dia tumpangi berhenti dengan sendirinya. Dalam setiap ayunan, Rhisky menempuh 75% dari panjang ayunan sebelumnya. Jika panjang busur pertama (atau ayunan pertama) 2 meter, tentukan panjang busur yang ditempuh Rhisky pada ayunan ke-8. Berapa meterkah total panjang busur yang ditempuh Rhisky sebelum dia berhenti berayun?
   
   

   Pembahasan Diketahui panjang busur pertama yang ditempuh Rhisky adalah 2 meter, sehingga kita peroleh a₁ = 2. Sedangkan dalam setiap ayunannya dia menempuh 75% dari panjang lintasan sebelumnya. Sehingga r = 75% = 0,75. Untuk menentukan panjang ayunan ke-8, kita tentukan a₈ dari barisan tersebut.

   

   Sehingga, panjang ayunan Rhisky yang ke-8 adalah 0,27 meter atau 27 cm. Selanjutnya kita tentukan panjang lintasan yang ditempuh oleh Rhisky sebelum dia berhenti berayun. Untuk menentukan panjang lintasan ini, kita cari jumlah deret tak hingga dari barisan tersebut.

   

   Jadi panjang lintasan yang telah ditempuh oleh Rhisky sampai dia berhenti berayun adalah 8 meter.