Geometri Kelas X

Geometri Matematika Wajib Kelas X 

Definisi – definisi  dan teorema yang diperlukan dalam materi ini adalah sebagai berikut.

Definisi 1:

jarak titik A dan titik B adalah panjang ruas garis terpendek yang menghubungkan kedua titik tersebut.

Definisi 2 :

Misalkan terdapat titik A dan garis g₂ sebarang, dengan titik A diluar garis g₂. Proyeksi titik A pada garis g₂, sebut titik B adalah suatu titik pada garis g₂ sedemikian sehingga AB tegak lurus g₂.

Definisi 3:

Titik A dikatakan tegak lurus bidang β, jika titik A tegak lurus semua garis pada bidang β.

Teorema 1:

Titik A dikatakan tegak lurus bidang β, jika titik A tegak lurus dua garis berpotongan pada bidang β.

Definisi 4:

Misalkan terdapat titik A dan bidang β, dengan titik A diluar bidang β. Proyeksi titik A pada bidang β, sebut titik B adalah suatu titik pada bidang β sedemikian sehingga AB tegak lurusβ.

Berdasarkan hal ini maka hal yang dibahas pada materi ini khususnya jarak, adalah:

1.      jarak dua titik;

2.      jarak titik terhadap garis;

3.      jarak titik terhadap bidang;

4.   jarak dua garis (jarak dua garis sejajar dan jarak dua garis bersilangan); dan

5.      jarak garis terhadap bidang; dan

6.      jarak dua bidang.

Keenam materi tersebut (kecuali jarak dua garis bersilangan) dapat dirangkum dalam gambar di bawah ini.

dengan:

1.AB merupakan ruas garis terpendek yang menghubungkan titik A dan titik B;

2. titik B merupakan proyeksi titik A pada garis g2 (atau garis k2);

3. titik B merupakan proyeksi titik A pada bidang β;

4. titik A merupakan proyeksi titik B pada garis g1 (atau garis k1); dan

5. titik A merupakan proyeksi titik B pada bidang α.

Panjang ruas garis AB mewakili:

1.      jarak titik A dan titik B;

2.      jarak titik A terhadap garis g₂; jarak titik A terhadap garis k₂;

3.      jarak titik B terhadap garis g₁; jarak titik B terhadap garis k₁;

4.      jarak titik A terhadap bidang β;

5.      jarak titik B terhadap bidang α;

6.      jarak garis g₁ dan g₂; jarak garis k₁ dan k₂;

7.      jarak garis g₁ terhadap bidang β; jarak garis k₁ terhadap bidang β;

8.      jarak garis g₂ terhadap bidang α; dan jarak garis k₂ terhadap bidang α.

 

10 Soal dan Pembahasan Permasalahan Barisan dan Deret Geometri

 

Barisan maupun deret geometri sering digunakan untuk menyelesaikan permasalahan yang sering kita jumpai di sekitar kita. Beberapa permasalahan yang sering menggunakan konsep barisan dan deret geometri adalah permasalahan pada ayunan bandul, depresiasi, penuaan peralatan, laju pertumbuhan populasi, dan lain sebagainya.
Soal 1: Menyelesaikan Penerapan Barisan Geometri: Bandul
Bandul adalah sembarang obyek yang digantungkan pada suatu titik tertentu dan dibiarkan untuk mengayun dengan bebas di bawah pengaruh dari gaya gravitasi. Misalkan ayunan suatu bandul masing-masing panjangnya 0,8 dari ayunan sebelumnya. Lama kelamaan, ayunan bandul tersebut akan semakin pendek dan akan berhenti (walaupun secara teoritis tidak akan pernah berhenti)

 

1. Seberapa panjangkah ayunan ke-6 dari bandul tersebut, apabila panjang ayunan pertamanya adalah 125 cm?
2. Berapakah panjang lintasan total yang telah dilalui oleh bandul tersebut sampai ayunan yang ke-6?
3. Butuh sampai berapa ayunankah agar panjang dari masing-masing ayunan bandul tersebut kurang dari 14 cm?
4. Berapakah panjang lintasan total yang telah dilalui bandul tersebut sampai bandul tersebut berhenti berayun?

Pembahasan Karena panjang masing-masing ayunan sama dengan 0,8 panjang ayunan sebelumnya, maka kita dapat menyimpulkan bahwa panjang ayunan bandul tersebut membentuk barisan geometri.

1. Karena panjang ayunan pertamanya adalah 125 cm, maka kita peroleh a₁ = 125 dan rasionya r = 0,8. Sehingga beberapa suku pertama dari barisan tersebut adalah 125, 100, 80, dan seterusnya. Untuk suku ke-6, kita dapat menentukannya dengan menggunakan rumus:
   
   Jadi, bandul tersebut mengayun sejauh 40,96 cm pada ayunannya yang ke-6.
2. Untuk menentukan panjang lintasan total sampai ayunan ke-6, kita hitung S₆.
   
   Sehingga, bandul tersebut telah menempuh 461,16 cm sampai ayunan ke-16.
3. Untuk menentukan banyaknya ayunan ketika masing-masing ayunan panjangnya kurang dari 14 cm, kita selesaikan n pada persamaan 14 = 125(0,8)^{n – 1}.
   
   Jadi, setelah ayunan ke 10 (atau mulai ayunan ke-11), panjang dari lintasan bandul akan kurang dari 14 cm.
4. Panjang lintasan total sebelum bandul berhenti berayun sama dengan jumlah deret geometri tak hingga dengan a₁ = 125 dan r = 0,8.
   
   Sehingga, panjang lintasan yang telah ditempuh oleh bandul sebelum berhenti berayun adalah 625 cm.

1. Seberapa panjangkah ayunan ke-6 dari bandul tersebut, apabila panjang ayunan pertamanya adalah 125 cm?
2. Berapakah panjang lintasan total yang telah dilalui oleh bandul tersebut sampai ayunan yang ke-6?
3. Butuh sampai berapa ayunankah agar panjang dari masing-masing ayunan bandul tersebut kurang dari 14 cm?
4. Berapakah panjang lintasan total yang telah dilalui bandul tersebut sampai bandul tersebut berhenti berayun?

Pembahasan Karena panjang masing-masing ayunan sama dengan 0,8 panjang ayunan sebelumnya, maka kita dapat menyimpulkan bahwa panjang ayunan bandul tersebut membentuk barisan geometri.

1. Karena panjang ayunan pertamanya adalah 125 cm, maka kita peroleh a₁ = 125 dan rasionya r = 0,8. Sehingga beberapa suku pertama dari barisan tersebut adalah 125, 100, 80, dan seterusnya. Untuk suku ke-6, kita dapat menentukannya dengan menggunakan rumus:
   
   Jadi, bandul tersebut mengayun sejauh 40,96 cm pada ayunannya yang ke-6.
2. Untuk menentukan panjang lintasan total sampai ayunan ke-6, kita hitung S₆.
   
   Sehingga, bandul tersebut telah menempuh 461,16 cm sampai ayunan ke-16.
3. Untuk menentukan banyaknya ayunan ketika masing-masing ayunan panjangnya kurang dari 14 cm, kita selesaikan n pada persamaan 14 = 125(0,8)^{n – 1}.
   
   Jadi, setelah ayunan ke 10 (atau mulai ayunan ke-11), panjang dari lintasan bandul akan kurang dari 14 cm.
4. Panjang lintasan total sebelum bandul berhenti berayun sama dengan jumlah deret geometri tak hingga dengan a₁ = 125 dan r = 0,8.
   
   Sehingga, panjang lintasan yang telah ditempuh oleh bandul sebelum berhenti berayun adalah 625 cm.

1. Soal 2: Bermain Ayunan
   Rhisky sedang bermain ayunan di halaman belakang rumahnya. Dia mengayunkan ayunan tersebut dengan menggunakan tangan dan tubuhnya agar ayunan tersebut berayun sampai ketinggian maksimum, kemudian membiarkannya sampai ayunan yang dia tumpangi berhenti dengan sendirinya. Dalam setiap ayunan, Rhisky menempuh 75% dari panjang ayunan sebelumnya. Jika panjang busur pertama (atau ayunan pertama) 2 meter, tentukan panjang busur yang ditempuh Rhisky pada ayunan ke-8. Berapa meterkah total panjang busur yang ditempuh Rhisky sebelum dia berhenti berayun?
   
   

   Pembahasan Diketahui panjang busur pertama yang ditempuh Rhisky adalah 2 meter, sehingga kita peroleh a₁ = 2. Sedangkan dalam setiap ayunannya dia menempuh 75% dari panjang lintasan sebelumnya. Sehingga r = 75% = 0,75. Untuk menentukan panjang ayunan ke-8, kita tentukan a₈ dari barisan tersebut.

   

   Sehingga, panjang ayunan Rhisky yang ke-8 adalah 0,27 meter atau 27 cm. Selanjutnya kita tentukan panjang lintasan yang ditempuh oleh Rhisky sebelum dia berhenti berayun. Untuk menentukan panjang lintasan ini, kita cari jumlah deret tak hingga dari barisan tersebut.

   

   Jadi panjang lintasan yang telah ditempuh oleh Rhisky sampai dia berhenti berayun adalah 8 meter.